トーナメントの1敗ラインの人数

GPTの帰りに1敗ラインの人数の話が出た。
要するにトップ8に残るためには、どのくらいの成績が必要なのか、という計算に必要なのですな。

そんなに難しい計算でもないので一回やっておこう。

まずは全勝、これは1回戦をこなすたびに半分（勝った人）になっていく。
でもって1敗ラインは全勝の半分（負けた人）と1敗ラインの半分（勝った人）の合計が次の回の1敗の合計人数になる。
（計算面倒＆式にできないので引き分けは考えない）

全勝をa(n)、1敗をb(n)とすると、

a(n+1) = 1/2 * a(n)
b(n+1) = 1/2 * a(n) + 1/2 * b(n)
a(0) = 1、b(0) = 0

となると。
おお、結構簡単な漸化式ですな。

全勝は簡単な等比数列なので、
a(n) = 1/2 * a(n-1) = 1/(2^n) * a(0) = 1/(2^n)
とまあ、瞬間的に解けますな。
これをbに当てはめてやると、

b(n+1) = 1/2 * b(n) + 1/(2^(n+1)))

両辺に(2^(n+1))をかけてやれば、
2^(n+1) * b(n+1) = (2^n) * b(n) + 1
f(n) = 2^(n) * b(n)としてやれば、
f(n+1) = f(n) + 1 = f(0) + (n+1)
f(0) = 1 * b(0) = 0なので、
f(n+1) = n+1つまり、f(n) = nとういことですな。

ということで、b(n) = n / (2^n))

という結構簡単な式に。

スイスドローの回戦数と人数の範囲はは2^(n-1) + 1 〜 2^(n)という風に計算できるので、結局8回戦やると5〜8人が1敗ラインで並ぶということに。
これに全勝が1人出るのでこの時点で6〜9人が上位に並ぶわけですな。
ということで、まずは2負けでほぼドロップ確定。

ここからもうチョイ面倒な計算開始。

最大の256とした場合、6回戦終了時、全勝4人、5-1ラインに24人（256 * 6/(2^6)）ほど並ぶ。

ここで全勝がIDすると6-0-2で20ポイント。
5−1ラインの半分が次に行くと12人が6-1で18ポイント。
ここで全員がガチると、さらに半分の6人が7-1で21ポイント。
6-0-2では二人ほど捲られる可能性も。

ってこれは最大の256で見積もっているので、6試合終了時点での1敗ラインの人数が16人の場合、全員ガチっても4人しか上がってきませんのでIDで問題なし。
ちなみに全体が170人以下の場合16人になるが、byeがいるのでちょいと計算が面倒。
まあ、byeの計算は前にやって106人と出てますので、bye無しが64人以下だと6-0-2でOKということですな。
bye無しの人数は1回戦の張り出し見れば一発でわかるので、まずは確認しておくとしますかな。

さて、ここで1敗ラインに並んだ人だが、上がIDするとそちらから降りてこなくなるので7回戦終了時点で6〜8人居ることに（上がIDしている前提なので6回戦終了時で1敗ラインに16人以下という前提）。
この人数で残り4人の座を争うということに。
でもって全員がIDした場合、オポが悪い2〜4人は落っこちるので、その人達はIDせずガチるしかなくなりますな。
ただ、当然ガチった片方は上にいくので、そうなると1組ガチるごとに椅子は1つ減っていく。
その辺りも計算して、最終的にIDするかどうかを決めることに。

オポの計算方法があまり考慮されてないので、微妙に間違っている気もしないではないですな。
今度オポの計算方法も調べておくか。